基于几何代数理论之医学图片配准探讨

第1章绪论

目前医学图像处理的主要研究方向有图像复原、图像融合、模式识别、图像可视化等。在医学应用领域，诊断和治疗的自动化、智能化、精确化对图像处理技术的要求越来越高。本文所研究的医学图像配准技术，是实现医学图像融合的关键与前提⑴，并为医学图像理解等更高层次的处理提供更全面的信息。由于不同模态的医学图像成像原理、成像设备、分辨率、成像参数等有很大差异，所生成的图像信息也会不同，医生临床诊断时也不能凭借自己的空间想象和推测来诊断病人的病情，所以图像融合、三维重建前必须进行图像配准。医学图像配准是一项比较复杂和困难的课题，虽然广大专家学者对医学图像配准技术做了一定的研究，并有部分成果得到临床应用，但是在提高配准速度、精度，优化配准算法等方面仍然面临着挑战。此外高维的多光谱图像处理技术也在不断发展，如文献针对颜部图像，提出了一个基于尺度不变局部特征匹配算法，实现多光谱影像自动配准。三维甚至髙维图像配准技术在不断的提高，但也面临着重大的挑战，主要挑战是参数个数和图像数据量增大，实时性得不到满足，配准过程和方法也变得复杂，要解决这些问题一是进一步发展硬件支撑平台性能，二是在算法及数学工具的使用上要有所突破。

.............

第2章几何代数理论与计算方法

2.1几何代数

本文所提出的多信息医学图像配准方法，都是建立在几何代数理论框架内，具有统一的理论内核与计算方法。将这种高效便捷的计算语言与医学图像配准相结合，适应了先进配准技术研究和应用趋势。以下进一步阐述本文所采用的基础理论。二重向量是一个向量延伸到另一个向量的产物，而如果将一个二重向量沿着一个向量去延伸那就得到的是定向体积元，称之为三重向量。正如二重向量一样，三重向量只有体积与符号，没有任何具体的形状。通常用一个盒子来直观的表示与理解三重向量的性质。内积没有一个统一确切的定义，这必须视问题的领域而定》最常见的内积对于欧几里得机械十分的有用，而在计算机科学中收缩内积也很有使用价值。

2.2几何代数中的数学工具

前面简要介绍几何积和多重向量的目的，就是要将其作为一种算法进行使用。接下来会介绍一些定义和算法，它们对于代数的应用都是十分有用的。我们可以用逆来分解一个多重向量。考虑到几何积不能交换，这就意味着左逆和右逆可能相等也可能不等。比较可惜的是求几何积的逆是十分复杂的。不过计算一些重要的多重向量的逆还是比较简易的。这样，对偶体是基向量是二重向量的一个标准的向量，事实上这适用于所有二重向量。在三维范围内，一个二重向量的对偶体是它的常态。这个对偶体被用来在二重向量和标准表示之间转化。

第3章几何代数低维子空间几何不变矩2D彩色医学图像配准...........38

3.1引言.............38

3.2四元数彩色医学图像矩主轴配准法.............40

3.3配准实验与结果分析...............45

第4章几何代数转动惯量几何不变量3D医学图像准...............49

4.1引言...........49

4.2几何不变量与旋转算子的构造.............50

第5章几何代数多重矢量投影几何不变量3D医学图像配准..........63

5.1几何代数多重矢量投影不变性..........63

5.2共形几何多重矢量投影不变性...........73

第6章几何代数角度不变量3D医学图像配准

6.1引言

正如前面章节里所述，3D头颅部的医学影像数据是以切面层的结构储存，每个切层以带灰度信息的点云数据构造而成，因此可以通过彼此按物理位置信息叠加重构出3D头颅整体的结构。进一步，由于头颅骨的刚性保护，使得内部软组织得到很好的免压保护，不易在获取影像数据过程中变形等给配准带来误差与干扰，这也是头颅3D医学影像数据区别于一般器官组织影像数据的特性。头颅部位的3D医学图像配准过程上分析可以视为两个运动，即旋转与平移。然而这两个运动都需要给出运动方向或者参考方向。本章提出基于角度不变量几何参量作为上述配准运动，尤其是浮动模态数据运动的参考方向，角度不变量是计算任意模态数据点云集相对某（或某些）几何子空间的夹角和为最值（包括最大值或最小值）所对应的几何要素（子空间）。这（些）几何要素与该模态之间的相对位置关系不会随着其旋转、平移等变换而改变，因此具有相对不变性。配准过程的浮动模态的几何变换（运动）可以以这（些）角度不变量作为运动参考方向，实现配准。

6.2子空间之间角度的度量

本章提出的角度不变量的概念是研究3D医学图像点云集与直线向量，平面向量（二重向量）之间的几何相对关系为目的的，借助几何代数理论计算方法，建立其两种几何代数空间上的角度不变量的数学模型，以角度和的最小、最大值不变量作为构造几何旋转算子的参考向量，对构造好的复合旋转算子实现浮动模态数据集的旋转操作。实验结果表明：该方法几何意义直观，计算方法简易，配准精度高。

............

第7章总结与展望

所提出的转动惯量不变量，二重向量不变量，向量角度不变量，平面角度不变量等以最值形式给出的具体几何要素，它（们）不会随着医学影像数据集整体的旋转、平移等空间几何变换而与其发生几何相对位置的变化，因此它（们）具有很稳健的几何跟踪特性，具有描述空间几何分布功能的参考基量，为此以此作为配准研宄的中的几何变换的参考基量是科学的，也是可行的，实验证明该方法是有效的。全文研宄总结如下：

（1）对传统体外定位标记法及外标记支架与病体的固定检查繁琐性，提出几何代数子空间上的四元数几何矩的概念，建立彩色医学2D图像的四元数几何矩的数学模型，其中以转动惯量矩不变量描述各个模态医学图像的空间几何分布，研宄它们之间的相对几何关系，并且实现旋转等几何变换，得以配准。

（2）对3D颅位医学图像配准问题，提出基于点云集计算的点云直接投影向量不变量的概念，在物理意义上，该不变量为研究3D刚体点云数据集的转动惯量不变量，建立几何代数计算模型。本文第四章以该不变量的最小值，最大值作为配准2个模态轮廓数据集的几何参考轴，并且提出构造几何算子的方法与质心重合的方法实现配准，取得较高的配准精度。

............

参考文献（略）