贝克莱克 贝克莱的著作

好的文章肯定人人都喜欢阅读，贝克莱的著作给你解惑答疑，丰富的内容让你更加有只是贝克莱克和贝克莱的著作让你人生无疑。关注我们，更多精彩正在路上！

贝克莱悖论

1、为摆脱这一空前的危机，数学家主要考虑了两条路径：抛弃整个集合论，把数学建立在新的理论基础之上；改造康托尔的集合理论，引进新的理论体系。经过探索，数学们选择了改造康托尔的集合理论。为捍卫数学理论基础的科学性和逻辑的严密性，当时很多著名的数学家、逻辑学家和哲学家都积极地投入了一场解决集合论中悖论的工作。例如：罗素提出了分支类型论；策梅罗、弗兰克等人共同建立的著名ZFC集合论公理系统；尤其是20世纪的伟大数学家哥德尔证明了哥德尔不完备性定理，该定理无论是在数学史上，还是在逻辑学发展史上都是一个里程碑。哥德尔不完备性定理的内容是：包括算术在内的任何一个协调公理系统都是不完备的。具体地讲，包括算术在内的任何一个形式系统L，如果L是协调的，那么在L内总存在不能判定的逻辑命题，即L中存在逻辑公式A与非A，在L内不能证明它们的真假。

2、无理数的发现---第一次数学危机

3、第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示,反之却可以由几何量来表示出来,整数的权威地位开始动摇,而几何学的身份升高了。危机也表明,直觉和经验不一定靠得住,推理证明才是可靠的,从此希腊人开始重视演译推理,并由此建立了几何公理体系,这不能不说是数学思想上的一次巨大革命!

4、年，罗素在巴黎见到意大利数学家皮阿诺，他发现皮阿诺比任何其他人都严格，并认定这是他的数理逻辑所致。因此罗素潜心研究皮阿诺及其学生的著作，并且认定他的符号正好是自己寻求多年的、可以用来进行逻辑分析的工具。接着罗素开始打算从逻辑推出全部数学来。开始他觉得还顺利，但是不久就碰到问题。康托尔曾经证明过不存在最大的基数（因为任何一个集合的所有子集做成的集合的基数比原集合的基数大）。罗素对此有些疑惑，认为以世界上所有的集合为元素做成的集合应该是最大的（因而具有最大的基数）。这样他就发觉其中有些矛盾。开始的时候他也觉得这件事也许没有什么大不了，也许是在什么地方绕住了。但是他左思右想仍无法绕过来，结果产生了著名的罗素悖论。

5、数学史上的第三次危机,是由1897年的突然冲击而出现的,到现在,从整体来看,还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且实际上集合论成了数学的基础,因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

6、世纪的数学思想的确是不严密的,直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念,从而导数、微分、积分等概念也不清楚,无穷大概念不清楚,以及发散级数求和的任意性,符号的不严格使用,不考虑连续就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

7、年,英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》,矛头指向微积分的基础--无穷小的问题,提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时,采取了先给x以增量0,应用二项式（x0）n,从中减去xn以求得增量,并除以0以求出xn的增量与x的增量之比,然后又让0消逝,这样得出增量的最终比。

8、哥德尔定理的意义在于，包括数学在内的任何一个科学体系都不能用一个完备的系统概括起来。可以说，第三次数学危机是通过哥德尔的伟大贡献才得到基本解决。然而不会再有谁敢说，数学理论体系的大厦已经建成，说不定什么时候就会遇上第四次数学危机了。

9、古希腊人在解决危机的过程中，把数和量区分开来，分而治之的策略使得算术、代数的发展受到极大的限制，而几何学却得到充分发展。

11、承认无穷集合,承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的。

12、罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后,在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了,即在工作完成之时,它的基础垮掉了,当本书等待印出的时候,罗素先生的一封信把我置于这种境地"。

13、若A属于A，则根据A的定义，A不属于A。

14、大约公元前5世纪,不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为"四艺",在其中追求宇宙的和谐规律性。

15、经过数学危机的洗礼，古希腊人认识到：直觉、经验是不可靠的，推理论证才是可靠的。这种转变导致了公理几何学与逻辑学的诞生。

16、在数学的历史长河中，一共出现了三次重大的数学危机，它们分别是由希帕索斯悖论、贝克莱悖论以及罗素悖论引起的，每次悖论的发现都引起了科学家们对原有数学理论基础的广泛而又激烈的争论以及后续数学理论的进一步完善。

17、若A不属于A，则根据的定义，A属于A。

18、毕达哥拉斯学派为了维护“真理”，把发现真理的希帕索斯扔到了大海里。似乎欧洲人继承了这一点，可怜的布鲁诺、哥白尼也成为了牺牲品。然而，伟大的发现，并没有因为发现者的死亡而消逝，反而得到广泛流传，引起了人们的关注和思考。毕达哥拉斯学派在这种压力下，被迫接受了悖论并给出了单子概念，企图解决悖论。单子概念是一个小度量单位以致本身是不可度量的。基于单子，芝诺有话要说，他认为一个单子或者是0或者不是0，如果是0，则无穷多个单子相加也产生不了长度，如果不是0，则由无穷多个单子可组成有限长线段。因此，芝诺悖论也列为数学第一次危机的组成部分。

19、希帕索斯悖论与第一次数学危机

20、到了公元前370年,这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法,出现在欧几里得《原本》第5卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理,仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。

21、在数学的发展史上，大大小小的矛盾出现过很多，但很少能威胁到整个数学基础理论，甚至引起危机。即便是千百年来人们对欧几里得几何公理第五公设的疑惑，也不曾造成数学上的危机，且最终成就了罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。数学史上共出现三次数学危机，每次都是由于悖论的发现而深刻和广泛的影响了数学基础。

22、为解除数学的第二次危机，整个18世纪，数学家的首要任务就是为微积分找出合乎逻辑的理论基础。数学家们从不同的角度提出各自的方案，其中有一个方案是通过极限的方法为微积分提供论证，把极限概念作为微积分的基础，为无穷小量的整个运算提供可靠的根据，其代表人物是达朗贝尔和柯西。柯西详细、系统地发展极限论，在极限概念“算术化”的方向上迈出了决定性的一步。19世纪后半叶，康托尔、维尔斯特拉斯和戴德金等人沿着柯西开辟的道路，建立起完整的实数理论，伴随着分析的严格化，第二次数学危机也宣告结束。

23、理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时,就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸?"如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸,那么他就不符合他的原则。

24、罗素得出简单明了的矛盾，只用了三个基本概念，而集合论的基础地位已十分显赫，悖论的出现撼动了以集合论为基石的数学大厦。比如：弗雷格得知罗素悖论之后，认为他的“算术基础动摇了”；戴德金认为他的实数理论也成了问题。

25、微积分自诞生便迅速、广泛地应用于各个领域，自身也得到了飞速发展。也正因为发展迅猛，出现了一些混乱局面。在当时，整个微积分理论建立在含糊不清的无穷小概念上，而作为微积分方法的主要基石正是“无穷小分析”。

26、年,福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后,康托发现了很相似的悖论。1902年,罗素又发现了一个悖论,它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的,它涉及到某村理发师的困境。

27、公元前5世纪，数学的认知还处在从自然数概念而形成有理数概念的早期阶段，对于无理数的概念是一无所知。早期的数学知识包括了大量经验性的东西，当时的人们认为一切量都可以用有理数来表示，尤其是信仰“一切皆数”的毕达哥拉斯学派，深信数的和谐与数是万物的本源，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数比。在这样的背景条件下，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约，这直接挑战了毕达哥拉斯学派的信条，冲击了古希腊人数学认知，引起了人们的恐慌，造成了数学上的第一次危机。

28、贝克莱悖论与第二次数学危机

29、无论在任何情况下都导致矛盾。这就是人所共知的罗素悖论。

30、世纪后半叶，康托尔首创的集合论成为现代数学的基础，被越来越多的数学家所接受和应用。1900年，巴黎召开第二届国际数学家大会，法国大数学家庞加莱骄傲地宣称：“现在我们能说完全的严格性已经达到了。”然而好景不长，数学家还没来得及高兴，英国数学家罗素提出了著名的罗素悖论，从而造成了数学史上空前的第三次危机，集合论的悖论所涉及的问题更深刻，涉及的范围更广阔。

贝克莱悖论

31、由于古希腊人不能掌握无理数概念，限制了算术和代数，使得数学研究转向几何。

32、罗素悖论与第三次数学危机

33、导致了数学史上的第二次数学危机。

34、这里牛顿做了违反矛盾律的手续---先设x有增量,又令增量为零,也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零,召之即来,挥之即去,这是荒谬,"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零?无穷小及其分析是否合理?由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。

35、由于幽灵一般的无穷小，微积分存在着种种逻辑缺陷，因此遭到了来自各个方面的攻击。尤其英国大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈。迫于当时自然科学的发展对宗教信仰的威胁和压力，似乎不难理解大主教的良苦用心。但打铁还需自身硬，当时的微积分理论确实没有牢固的基础，牛顿、莱布尼茨以及他们的拥趸，都无法澄清微积分理论基础中的混乱，致使来自各方面的非难似乎言之有理。正因为如此，贝克莱揭示出微积分基础中包含着逻辑矛盾，在当时引起了一定的混乱，导致了数学史上的第二次危机。

36、直到19世纪20年代,一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始,到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了严格的基础。

37、数学发展史上的三次危机

38、第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。

39、尽管在实践上，无穷小分析得到了成功的应用，但在逻辑上有两类缺陷：一是某些概念含糊不清；二是某些推理不严谨。例如：无穷小量在牛顿的著作中，有时是零，有时是非零有限量；在牛顿和莱布尼茨那里，运算的结果虽然正确，但推理过程却含有逻辑漏洞；开始会预先假定一个非零的有限增量，尔后又把这个零略去，违反逻辑上的同一律。

40、于是终结了近12年的刻苦钻研。

41、他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比,毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理,但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形,如直角边长均为1的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条,导致了当时认识上的"危机",从而产生了第一次数学危机。

42、世纪,微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用,大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。

43、无穷小是零吗?---第二次数学危机

44、悖论的产生---第三次数学危机

45、该危机对当时的数学发展产生了极大的影响：

46、罗素悖论很简单，它只涉及集合论的少数几个最基本的概念，如元素、集合、属于等。考虑由所有那些自身不属于自己的集合（以它们为元素）作成一个集合A，那么，A是本身属于自己的集合还是本身不属于自己的集合？理应二则必居其中一个，但是：

47、所以,第三次危机表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续着。

罗素悖论何时被提出的【140句精选】

罗素悖论何时被提出的

1、从集合论的观点来看，由于数的序列对应的是数的集合，而不是数元素本身，即使形如⑴中只有一个元素的序列对应的也应该是一个数的集合。上面对有理数的定义显然构造了一个包含自指的集合：数a等于一个集合，这个集合中有一个元素，就是数a本身。这样的集合包含了罗素悖论[2]。

2、【悖论(30)----费米悖论】

3、【悖论(39)----中文房间悖论】

4、【悖论(27)----双信悖论】

5、分析这种编码方法，实际上也是用收敛的点序列来定义一个点，例如正方形的中心点，是由序列{H-1（1/2），H-2（1/2），...,H-N（1/2），...}来定义的，也就是正方形中心点对应在[0,1]中的为1/2。按照第一节的论证，这种方法在定义基本序列中的点时要发生错误。如果严格按极限的定义，上面序列中的所有元素，H-1（1/2），H-2（1/2），...,H-N（1/2），...，这些点都是常数序列（即它自己一个元素组成的序列）的极限点，也都该对应于[0,1]中的为1/2。这就是说，1/2在平面中对应的不是一个点，而是有无穷多个点。

6、9910.9920.9930.9940.9950.9960.9970.9980.999

7、这节论述了希尔伯特曲线没有覆盖整个平面。这个问题的焦点在于定义无理数的基本序列有没有包括极限点：如果包括了极限点，那么构造了基本序列就等于所有有理数和无理数；如果不包含极限点，那么构造了基本序列等于只构造了有理数。上节论述了希尔伯特曲线没有覆盖整个平面。那么能不能仿照康托从有理数集出发去定义无理数集的例子，借助希尔伯特曲线来建立一种从曲线到平面的一一映射呢？希尔伯特曲线中的编码映射就是这样的一个例子。

8、【悖论(2)----罗素悖论】

9、910.920.930.940.950.960.970.980.99

10、【悖论(45)----印度父女悖论】

11、【悖论(1)----外祖母悖论】

12、【悖论(29)----先知悖论】

13、【悖论(67)----托里拆利小号悖论】

14、令m表示0到9的整数，把序列中的一个小数表示成其前一个小数与尾数相加的形式（如3.14=3.1+0.04），则：

15、【悖论(13)----丰收悖论】

16、110.120.130.140.150.160.170.180.19

17、常数序列显然是一个基本序列，并恰好以a为极限。

18、如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人。但是，招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。

19、0110.0120.0130.0140.0150.0160.0170.0180.019

20、......

21、研究悖论解决方案的副产品包括：集合论的公理化，类型论的系统发展，语义学的基础，形式系统的理论。

22、【悖论(58)----毕达哥拉斯悖论】

23、（2.12）a1,a2,...,an,...

24、【悖论(36)----定时炸弹悖论】

25、在希尔伯特曲线的编码映射中，对分成的4个小正方形按顺时针顺序进行二进制编码，为0.00，0.01，0.10，0.11。后面的分裂同样在前面编码的基础上加上2位二进制小数，如第一格第二次分裂后，得到的4个小正方形编码为0.0000，0.0001，0.0010，0.0011。这样就给正方形中的每个点一个[0,1]中的编码，也就是完成了从1×1的平面到[0,1]区间的一一映射。

26、【悖论(42)----社交网络悖论】

27、在19世纪末至20世纪初，逻辑和数学的基础受到许多困难（所谓的悖论）的发现的影响，特别是经典集合论中被发现有自相矛盾的现象，尤其是罗素悖论，以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是“第三次数学危机”。这些难题涉及基本概念以及定义和推理的基本方法，这些以前通常被认为是没有问题的。

28、无理数对应的基本序列中包含无穷多个元素，讨论能不能多加一个极限点似乎有点诡辩。但这涉及到有理数域中的四则运算是否封闭，以及对无理数的定义是否包含罗素悖论。而且，由于所有无理数都是有理数集的极限点[3]，分清基本序列和极限点的关系可以避免把有理数集当成实数集。

29、【悖论(26)----黄油猫悖论】

30、【悖论(50)----伊壁鸠鲁悖论】

罗素悖论何时被提出的

31、【悖论(25)----布雷斯悖论】

32、【悖论(4)----钻石与水的价值悖论】

33、(2)对任意属于自然数的n，设m/10^n为有理数，则m/10^（n+1），亦为两整数相除，所以m/10^（n+1）为有理数；

34、这样，对于平面上坐标为无理数对的点，如（sqrt⑵-1，sqrt⑵-1），既不能被希尔伯特曲线的横边所覆盖，也不能为纵边所覆盖。

35、希尔伯特曲线由一个大正方形分成9个小正方形，再不断的把每个小正方形分成更小的正方形得到的边组成的曲线。这实际上是一个递归过程。也可认为希尔伯特曲线是在上面基础上把小正方形的中心点连接起来得到的曲线。这两种表示方法在本节的讨论中并没有区别，在下面的过中位线作截线的过程中可以发现，这两种曲线与截线的交点是一一对应的。

36、【悖论(8)----电车悖论】

37、【悖论(55)----孔多赛悖论】

38、下面将讨论希尔伯特曲线等一维到二维映射的曲线。因为一维与二维之间的关系，与可数无穷多与不可数无穷多的关系类似；或者说可以通过作截线的方法，把一维与二维之间的关系转化为可数无穷多与不可数无穷多的关系，所以在进一步讨论前先总结一下可数无穷多与不可数无穷多的关系：

39、【悖论(52)----无神悖论】

40、罗素悖论现在已经得到了“解决”。解决罗素悖论的努力直接导致现代数理逻辑的奠基工作，哥德尔不完备定理。

41、x1=0.a1a2……an……

42、因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。

43、真实性悖论

44、【悖论(18)----薛定谔的猫悖论】

45、【悖论(56)----艾比林悖论】

46、“1872年，康托在一篇文章中，用一章的篇幅专门讨论实数问题，特别是无理数问题。他为自己提出了一个目标，在不预先假定无理数存在的条件下，建立一个令人满意的无理数理论。显然，全体的有理数集合为此提供了一个基础。康托用有理数的无穷序列来定义无理数及它们之间的顺序关系。

47、{an+m-an}

48、首先，冯诺依曼提出，全体集合构成的集合，不能是集合论的一个对象、元素。罗素悖论就是因为把全体集合构成的东西当做集合（集合论语言中的元素）来处理。冯诺依曼提出，全体集合构成的东西可以作为类提起，但不能作为集合参与集合论的运算（这中的区别很大，听起来有点玄，有兴趣可以参考数理逻辑基础知识），亦即不能说这个东西属于某个集合。同时有人提出，加入WF公理（不存在无穷集合降链）。这样一来，罗素悖论就“不再存在”。

49、【悖论(11)----两分法悖论】

50、(1)P1=3.1，为一个有理数；同时10^1为整数，而m/10^1为两个整数相除的形式，按有理数的定义两个整数相除商为一个有理数；

51、【悖论(17)----缸中之脑悖论】

52、对实数域的任一有理数a，a按定义等于一序列；

53、这节讨论了无法利用希尔伯特曲线的编码映射来完成从1×1的平面到[0,1]区间的一一映射。康托提出了一个从一维到二维的一一映射[1]：

54、一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。

55、悖论在当代逻辑中获得了新的作用，它们导致了新定理的发现(通常是负面的结果，例如不可证明性和不可判定性)。逻辑的几个基本概念发展过程,之所以已经到了目前的状态，通常是得益于解决悖论的各种尝试。对于集合(set)和类(collection)的概念，标准古典逻辑的基本句法和语义概念（给定顺序的逻辑语言，可满足性，可定义性的概念）出现而言，尤其如此。

56、【悖论(57)----斯托克代尔悖论】

57、【悖论(23)----老虎悖论】

58、希尔伯特曲线通过把一个正方形不断大的分成4个小正方形，再把小正方形的中心点连接起来得到的曲线，即希尔伯特曲线。把第一次分裂得到的曲线称为H-1，第二次分裂得到的称为H-2，……；把H-1与y轴的交点（也即H-1的中点）称为H-1（1/2），H-2与y轴的交点称为H-2（1/2）……。由于正方形的边和中位线有一一对应关系，这两种表示方法在一定程度上是相同的。

59、定义：无穷序列

60、【悖论(12)----秃子法悖论】

罗素悖论何时被提出的

61、【悖论(51)----吉布森悖论】

62、【悖论(24)----柏拉图与苏格拉底悖论】

63、【悖论(38)----肥胖悖论】

64、【悖论(48)----蒸发悖论】

65、可数无穷多和不可数无穷多之间不能建立一种一一对应的关系；

66、【悖论(7)----匹诺曹悖论】

67、x2=0.b1b2……bn……

68、【悖论(66)----诺斯悖论】

69、【悖论(15)----飞矢不动悖论】

70、对实数域的任一无理数b，b按定义等于一序列{b1,b2,...,bn,...}。

71、010.020.030.040.050.060.070.080.09

72、真实性悖论（veridicalparadox）：是一个无矛盾的命题。其产生的结果看起来很荒谬，但事实证明是正确的。其推理过程和其结果都没有问题，不是真正的悖论。如，希尔伯特旅馆悖论。

73、称为一个基本序列，如果对任何有理数值e，都存在一个整数N，使得对任何n>N和任何m，有

74、【悖论(20)----全知者悖论】

75、但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。

76、【悖论(3)----追乌龟悖论】

77、【悖论(59)----王尔德悖论】

78、【悖论(33)----纽卡悖论】

79、【悖论(35)----社会悖论】

80、对希尔伯特曲线，取极限后得到的图形是一个完整的正方形。由于对集合取极限操作的过程不能保持一一对应关系，所以这并不足以证明希尔伯特曲线建立了一种从曲线到平面的一一映射。在取极限前，希尔伯特曲线与中位线的交点包含了[0,1]中所有有理数，这时候希尔伯特曲线完成的是构造基本序列的过程，图形是曲线但不是一个平面；取极限后，图形将覆盖整个平面，这时中位线与图形的交点是整条线段。因为我们知道在取极限前，图形与中位线的交点是可数无穷多个，取极限后交点是不可数无穷多个，这两者之间并不能够建立一一对应关系，所以除非有特别的论证，否则不能从取极限前是曲线而取极限后是平面就得出曲线和平面有一一对应的关系。

81、悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义（内容）和表达方式（形式）、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。

82、【悖论(5)----忒修斯之船悖论】

83、={3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592，3.1415926，……}

84、在定义中，无理数代表的基本序列中的元素都是有理数，显然按定义无理数作为极限点不在无穷序列里。可以用归纳法证明，无理数作为极限点不在基本序列里有数学依据，而不是出于人为的定义。例如，对于pi的序列：

85、这样就完成了从y到（x1，x2）的映射。

86、【悖论(14)----抽彩悖论】

87、【悖论(28)----图书管理员悖论】

88、【悖论(21)----沙堆悖论】

89、有一点需要明确一下，就是无穷序列的构造过程以及对无穷序列取极限的过程的关系。我们已经知道[0,1]区间中有理数有可数无穷多个，可以用一个递归的无穷过程来产生这些有理数；而[0,1]区间中的无理数都是有理数集合的极限点。但有理数集和无理数集显然是不一样的。这就是说，构造有理数集的无穷过程并不包括取极限的过程，不能认为取极限的过程一定包含在无穷过程中。否则，按第一节的论述，对无理数的定义将包含罗素悖论。事实上，许多宣称找到了实数可数证据的例子都是犯了认为无穷过程一定包含取极限过程的错误。

90、(3)所以序列中任意元素为有理数。归纳法证明的是这个无穷序列中所有元素的性质，所以这个序列的极限点作为一个无理数不在序列里。

罗素悖论何时被提出的

91、【悖论(6)----节约悖论】

92、【悖论(54)----军规悖论】

93、【悖论(9)----上帝悖论】

94、【悖论(34)----品牌悖论】

95、【悖论(43)----新悖论】

96、康托在从包含可数无穷多元素的集合出发，用取极限的方法去定义包含原始集合且自己元素为不可数无穷多的新集合时，在对前者集合的元素的定义包含了罗素悖论。1877年，康托给出了从一维到二维的一一映射。皮亚诺和希尔伯特分别于1890年和1891年给出了一种可以充满整个平面的曲线。

97、如果希尔伯特曲线和中位线的交点覆盖了整条中位线的话，那么序列{s1,s2,...,sn,...}也就覆盖了实数区间[0,1]。又由于序列中的每个元素sn包含有限个数，所以把每个元素代表的数序列代入后，序列{s1,s2,...,sn,...}就等于一个[0,1]区间中所有的实数组成的一个序列。这和实数的不可数性是矛盾的。

98、悖论根源于知性认识、知性逻辑（传统逻辑）、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化，即把形式逻辑当作思维方式。

99、【悖论(47)----命定悖论】

100、0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.009

101、下面在坐标系中进一步讨论这个问题。为了方便在十进制中讨论，假设每个大正方形分裂成100个小正方形，即每个正方形分裂后与其中位线产生9个交点。把第一次分裂得到的交点记为s1，把第二次分裂得到的交点记为s2……这就得到了一个序列{s1,s2,...,sn,...}，序列中任一元素sn又为一个数的序列：

102、分析上面对实数的定义，每个实数域中的数实际上是一个有理数的序列，所以有：

103、【悖论(60)----凯恩斯－库兹涅茨悖论】

104、虽然在康托对实数的定义中，对无理数的定义部分却没有包含类似的悖论。这里仍将认真讨论康托对无理数的定义，因为这个定义常被理解成包含罗素悖论的形式出现，第二节将举出一些包含这种错误的例子。

105、尽管“数”的术语的使用十分自然，但仍有关于由A生成的域B的性质及它们的存在性的哲学问题。康托认为B中的数本身是无意义的，它们只具有一种与序列相联系的客观实在性。显然这种实在性不同于域A中有理数所具有的客观性。一个B中的元素被考虑，仅仅为了某种方便之故，仅仅由于它代表了一个基本序列。

106、下面一种观点认为，皮亚诺曲线等是和实数的不可数性相矛盾的。关于康托的集合论，罗素于1901年提出了一个悖论，指出一个包含自己的集合将导致逻辑上的混乱。分析发现，在康托对实数的定义中也包含了罗素悖论。康托对实数的定义是[1]：

107、【悖论(61)----阿罗悖论】

108、【悖论(19)----法国悖论】

109、年，数学家康托提出了从一维到二维的映射，后来这个结论得到了另外一些数学家的支持，包括皮亚诺、希尔伯特等。但也有一些数学家对此持怀疑或反对的态度。最著名的就是与康托一起对实数做出定义的数学家戴德金，他对康托的结论一直持反对意见，并指出了康托最初证明中的一些错误。另外，后来戴德金又证明，如果平面和直线之间的对应是连续的，则不可能是一一对应。

110、事实上，由于产生希尔伯特曲线的过程是递归过程，而递归过程与自然数是一一对应的，在理论上这个过程产生的图形与中位线之间的交点只能是可数无穷多，而不可能是不可数无穷多[3]。

111、【悖论(65)----数学悖论】

112、【悖论(49)----天云悖论】

113、【悖论(46)----国家悖论】

114、y=0.a1b1a2b2……anbn……

115、向左转|向右转

116、【悖论(63)----电梯悖论】

117、实际上，上面的证明过程使用了递归方法。正如第一节所论述，递归方法所论证的只能是基本序列中的元素，而基本序列的极限点不一定包含在基本序列里。所以这个证明只对有理数有效。这种观点指出，在康托用有理数的基本序列去定义实数中，实数域中的一个有理数a按定义等于序列，这实际上构造了一个包含自指的集合：数a等于一个集合，这个集合中有一个元素，就是数a本身。这样的集合包含了罗素悖论。本文还分析了皮亚诺曲线等一维到二维映射的例子，指出它们实际上也包含了上述悖论。

118、【悖论(16)----色盲悖论】

119、这一节分析了康托对实数的定义，指出在实数域中对有理数的定义包含了罗素悖论。同时指出，按康托的定义，无理数作为基本序列的极限点并不在基本序列中。

120、假设y为一个实数，且：

罗素悖论何时被提出的

121、【悖论(32)----距离悖论】

122、【悖论(64)----历史悖论】

123、【悖论(40)----美诺悖论】

124、【悖论(22)----大叔悖论】

125、【悖论(53)----西格尔悖论】

126、【悖论(31)----格瑞林悖论】

127、这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。

128、【悖论(37)----茶叶悖论】

129、设Pn为有理数。则P(n+1）为Pn+m/10^(n+1）的形式，为两个有理数相加，所以P(n+1）为有理数；

130、10.20.30.40.50.60.70.80.9

131、【悖论(62)----道家悖论】

132、【悖论(10)----钱包悖论】

133、另外，可以用反证法证明，希尔伯特曲线并没有建立一种从曲线到平面的一一对应关系。假设曲线的坐标区间为[0,1]（即假设曲线的长度为1），并对于正方形中位线y轴上的某一点p，有曲线上的数x属于[0,1]映射到p点。由于希尔伯特曲线是左右对称的，则立即可以得到数（1-x）也映射到p点。又由于这种映射是一一映射，所以有x=1-x=1/2，即与1/2对应的是y轴上的一条线段，这与前面的一一对应假设矛盾。

134、意义和影响

135、如果序列是一基本序列，则说它有一个确定的极限，假定用b来表示。于是每个基本序列就有一个确定的符号b与之相联。康托使用“符号”一词来形容b的作用。

136、过原正方形的中位线作一条数轴，并假设数轴上位于正方形内的区间是[0,1]。然后用递归过程生成希尔伯特曲线，并在递归过程中按产生的先后顺序对希尔伯特曲线和中位线的交点进行编号。这样每个交点都有一个编号。如果希尔伯特曲线覆盖了整个正方形的话，那么交点应该覆盖了整条中位线。因为线段上的点和[0,1]之间的实数有一一对应关系，而标号和自然数集有一一对应关系，所以这就意味着[0,1]之间的实数和自然数的一个一一对应。这和实数的不可数性是相矛盾的。显然问题的焦点是，希尔伯特曲线与中位线的交点是覆盖了整个[0,1]区间，还是只覆盖了[0,1]中的有理数点。

137、【悖论(41)----潜水艇悖论】

138、康托希望将有理数域A的算术运算推广到这些新数b构成的域B上，并放弃“符号”一词改用“数”称呼B中的元素。

139、【悖论(44)----伊卡洛斯悖论】

140、【悖论(68)----蒙提霍尔悖论】

数学中的著名悖论精选108句

数学中的著名悖论

1、问题来了：

2、积分论解释：费米悖论表明，积分函数是有限的，这意味着它不可能是无限的。

3、聪明的你一定发现了其中的蹊跷。

4、说谎者悖论

5、赫拉克利特悖论

6、这个理由又是属于“外星人已经死掉”的范畴。宇宙中可能充满了适宜居住的行星，但这并不能保证它们存在的时间足够让生命演化。根据澳大利亚国立大学在2023年发表的一篇论文，类似地球这样潮湿的岩石行星在形成初期非常不稳定；如果任何外星生命想要在这样的星球上演化，那它们只有很有限的窗口期（大约几亿年）来发展自己。

7、量子力学解释：费米悖论表明，量子力学不支持时间和空间的分离，因为它们彼此不相关。

8、“在宇宙空间和时间上，都会有成功者和失败者，前者能设法看到正在发生的事情并找出解决方法，后者则无法团结行动，他们的文明也会跌倒在路旁，”弗兰克说，“问题是，我们想要成为哪一类？”

9、生命可能在宇宙中很罕见的原因，不是因为很难开始，而是因为在第一个十亿年中很难维持可生存的环境。

10、天文学家称，在我们的太阳系中，由液态水组成的亚表面海洋在多颗卫星上存在，并且很可能在银河系中十分常见。美国航空航天局的物理学家艾伦·斯特恩（AlanStern）认为，这些神秘的水世界可能为生命演化提供了完美的场所，即使这些星球表面的环境十分恶劣。他说：“撞击和太阳耀斑，附近的超新星爆发，以及所处的轨道，是否拥有磁层，还有是否存在有毒的大气层，所有这些对于地下的生命来说都无关紧要。”

11、在天文学上，“超级地球”指的是一类质量约为地球2.5到10倍的行星。研究显示，这类行星中有许多具有液态水存在的合适条件。这意味着，外星生命也可能在宇宙中众多超级地球上不断演化。

12、莫比乌斯带悖论：如果你在一个莫比乌斯带上画一条线，你可以不停地画下去，最终回到起点，但是这条线的两侧却是不同的。

13、如果我们不学会扩大参考框架，我们可能就会错过近在眼前的外星智慧生命。

14、时间结构解释：费米悖论表明，时间可以被分解成多个阶段，每一阶段有自己的特征，不能把时间分解成单独的一个变量。

15、外星人演化得不够快（然后就死了）

16、怎么能让他知道自己和别人不一样？

17、宇宙正在扩张。速度很慢但毫无疑问，各个星系正在互相远离，遥远的恒星在我们看来将越来越暗淡。这一切都归结于一种神秘无形物质的拉动，科学家称之为暗能量。科学家推测，在未来几万亿年后，暗能量将使宇宙伸展到地球人无法看到最邻近星系以外其他星系亮光的程度。这是个可怕的概念：如果我们在此之前无法尽可能地探索宇宙，那可能就永远没机会做这样的调查了。

18、很显然，理发师处于两难中。

19、罗素悖论也称为理发师悖论，由英国哲学家、数学家于1901年提出。

20、第二问：“你喜欢我吗？”

21、色盲问题

22、类似的还有书目悖论。

23、这个“爱情之问”很适合还处于暧昧期的情侣讨论来加深感情。

24、悖论是指同一命题或推理中隐含两个对立结论，而这两个结论都能自圆其说。介绍一些非常经典的悖论。

25、第一问如果回答是，两个问题答案相同，第二问也是“是”；如果第一问题回答否，两个问题答案不相同，那么第二个回答也还是“是”。

26、想不到吧！我们其实就是外星人

27、我们知道上帝是万能的，那么上帝能否造出一个他自己也举不起石头么？

28、以下便是科学家为回答费米悖论提出的9种猜想。

29、为了跟上暗能量的脚步，我们必须在暗能量使其他星系远离我们之前，尽可能地扩张我们的文明。

30、一个图书馆要编纂一本书，这本书的内容是列出该图书馆所有不列出自己书名的书，那么，这本目录的书要不要列出自己的书名呢？

数学中的著名悖论

31、目前还没有真正支持泛种论假说的证据。

32、研究人员写道，在真实情况下，外星人可能并不像类人猿；他们甚至可能无法被光和声波探测到。那么，这项研究能告诉我们什么呢？基本上，我们自己的想象和注意力限制了我们对外星人的搜索。如果我们不学会扩大参考框架，我们可能就会错过近在眼前的外星智慧生命。

33、假设人群中有1%的人罹患某疾病，而其他人是健康的。我们随机选出任一个体，假设检验动作实施在未患病的人身上时，有1%的机率其结果为假阳性；实施在患病的人身上时，有1%的机率其结果为假阴性。

34、我这里就不剧透故事了。

35、人类将杀死所有外星人（或者已经杀死了）

36、“在早期的热脉冲、冰冻、挥发性物质变动和（温室气体）逃逸等条件下，在一颗处于适居带的潮湿岩石行星上维持生命可能就像试图骑在野牛背上一样——大多数生命都会失败，”研究作者写道，“生命可能在宇宙中很罕见的原因，不是因为很难开始，而是因为在第一个十亿年中很难维持可生存的环境。”

37、更有意思的是：

38、根据天体物理学家亚当·弗兰克（AdamFrank）的说法，这不仅是可能的，而且极有可能。今年早些时候，弗兰克运行了一系列数学模型，模拟一个假想的外星文明如何随行星资源转化为能源而兴起和衰落。坏消息是，在四个场景中，有三个出现了社会崩溃，大多数人口死亡。只有当外星社会很早就遇到问题，然后迅速转向可持续能源时，才能最终幸免于难。这意味着，如果外星人存在，那他们在遇见我们之前就自毁星球的可能性很大。

39、对外星人来说或许很不错，但这也意味着我们永远不可能通过望远镜的观察来发现它们。能期待它们联系我们吗？想多了……斯特恩说，这些生命所处的地方太深，我们甚至不能期待它们知道天空和宇宙的存在。

40、说谎者悖论还有许多引申。

41、我们找错地方了（因为所有外星人都是机器人）

42、“如果达到星际旅行能力的第一批生命为了自己的扩张，必须清除所有竞争对手，那该怎么办？”别列津在今年三月发表于预印本网站arXiv.org上的文章中写道，“我并不是说高度发达的文明会有意识地消灭其他生命形式。最可能的情况是，他们根本就不会注意到，就像建筑工人在建造房屋时摧毁蚁丘一样，他们缺乏保护它的动力。”当然，在这种情况下，人类是推土机还是蚁丘还有待观察。

43、瑞兹-纳谷悖论

44、有这样一个人，他患有一种奇怪的色盲症，他会把蓝色看成绿色，把绿色看成蓝色，他自己并不知道他患有色盲，并不知道他和普通人不同，他只是把绿色叫成“蓝色”，把蓝色叫成“绿色”。

45、怎么证明你不是这个患奇怪色盲的人？

46、男生对女生连续问两个问题，只能用“是”或者“不是”来回答。

47、美国费米国立加速器实验室的天体物理学家达恩·奥佩尔（DanHooper）在今年早些时候发表的一篇论文中写道：“恒星不仅会变得无法观察，而且会完全无法接近。”这意味着我们在寻找和遇见任何外星人问题上有着严格的截止日期。为了跟上暗能量的脚步，我们必须在其他星系远离我们之前，尽可能地扩张我们的文明。

48、说谎者悖论还有一个有趣的形式。

49、赫拉克利特悖论：相同的东西在不同的时间和地点看起来是不同的。

50、下一句话是谎话。

51、如果上帝能造出这块石头，可他自己又举不起这块石头，那他就不是万能的；如果他不能造出这块石头，那又怎么能说上帝是万能的。

52、外星人躲藏在冰下海洋中

53、巴贝奇悖论

54、蒯恩悖论：有一个岛上住着只说谎话和只说真话的人，但是如果你问他们“你是谎言者吗？”他们都会回答“是的”。

55、这句话就是说谎者悖论。有意思在于，这句话没有答案。如果埃庇米尼得斯说的是真的，那就不符合“这句话是谎话”，如果是假的，那就符合“这句话是谎话”，那么这句话就是真话。这就是一个典型的自我指涉引发的悖论。

56、假阳性悖论

57、以下是数学史上十个有趣的悖论：

58、克服超级地球的重力并完成火箭发射和太空旅行几乎是不可能的。

59、他的思路是这样的：任何能在母恒星系以外探索的文明，肯定都走在无限制增长和扩张的道路上。正如我们在地球上所知的那样，这种扩张往往以较小的、挡在路上的生物为代价。别列津说，当我们最终遇到外星生命（假设我们真的注意到了）时，这种“以我为先”的思维方式很可能还大行其道。

60、“任何发明了无线电，使我们能在未来几个世纪内听到他们的（外星人）社会，肯定已经发明了他们的接替者，”肖斯塔克在2023年于旧金山举行的Dent：Space会议上说，“我认为这很重要，因为接替者其实是机器。”

数学中的著名悖论

61、外星人引发了气候变化（并因此灭亡）

62、费马点阵悖论：在一个平面上，如果你用单位正方形拼出一个无限大的点阵，那么必然有两个点的距离小于1。

63、我们越接近找到外星人，他们就越接近被我们毁灭。理论物理学家亚历山大·别列津（AlexanderBerezin）说，这是很可能发生的事情。

64、上一句话是真话。

65、生日悖论，也叫生日问题，是指如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%；而对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。

66、一个人通过时光机器回到了过去，在他祖母遇到祖父之前杀掉了他的祖父。这就意味着他父亲不会出生，他也不会出生，那么，他也不可能回到过去杀掉自己祖父，那他祖父和祖母还是会相遇，他也一样会出生，他还是能回到过去杀了自己祖父。

67、罗素悖论（Russell'sparadox）

68、无穷酒馆悖论

69、矢量悖论：矢量的长度和方向是相对的，因此无法确切地描述一个矢量。

70、萨维尔村理发师推出一块招牌：“理发师只给所有不给自己理发的人理发。”

71、祖父悖论

72、当人口消耗资源的速度超过行星所能提供的最大限度时，灾难就不远了。

73、在一些冰冻星球上，外星人可能就生活在神秘的冰下海洋中。

74、蒙提霍尔悖论亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论、三门问题，是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal（问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔），并因电影《决胜24点》为大多数非数学专业人士所知晓。

75、有人问他：“那你自己的头发你理不理呢？”

76、理发师如果给自己理发，那么他就是给自己理发的人，他就不能给自己理发；反之，如果理发师找人给他理发，那他就是不给自己理发的人，他应该给自己理发。

77、费马大定理悖论

78、肖斯塔克称，一个真正先进的外星人社会可能完全由超级智能机器人组成，我们对外星人的搜寻应该考虑这一点。与其把我们的资源放在寻找其他适居行星，或许更应该寻找那些对机器人有吸引力的地方。比如有大量能源的地方，如星系中心。“我们在寻找与自己相似的生命，”肖斯塔克说，“但我不知道宇宙中大多数的智慧生命是不是这样。”

79、公元前4世纪克里特哲学家埃庇米尼得斯（Epimenides）说“我现在说的这句话是谎话。”

80、蒙提霍尔悖论

81、类似的这样的故事，好莱坞曾经拍过一部电影，那就是《前目的地》。

82、在一项小型研究中，研究人员请137人查看其他行星的图片，并在图片中寻找外形结构的迹象。有几张图片中隐藏了一个穿着大猩猩外套的小人。在寻找符合自己想象的外星人形象时，只有30%的参与者注意到了这个小人。

83、比如，一个连续的两句话：

84、瑞利悖论

85、暗能量将我们分离

86、当人口消耗资源的速度超过行星所能提供的最大限度时，灾难就不远了。我们从地球上正在上演的气候变化危机中可以很清楚地认识到这一点。那么，有没有可能一个先进的，过分耗能的外星人社会也会遇到同样的问题？

87、与三门问题，类似的一个问题叫贝特朗箱子悖论，注意区别于著名的“贝特朗悖论”。

88、感谢流行文化，“外星人”这个词可能会让你脑海中浮现出一个幽灵般的大秃头形象。对好莱坞来说这很好，但今年早些时候，西班牙的一支心理学家团队指出，这些先入为主的E。T。形象或许会妨碍我们搜寻外星人。

89、如果想与外星人交谈，我们或许需要一些实用的破冰船。在一些冰冻星球上，外星人可能就生活在神秘的冰下海洋中。

90、我们已经找到了外星人（但由于分心而没有意识到）

数学中的著名悖论

91、生日悖论

92、伯特兰悖论：任何大于1的整数n，都至少存在一个质数p，满足n

93、无限酒店悖论：一家无限房间的酒店已经住满了客人，但是如果每个客人都搬到下一个房间，那么酒店仍然可以接纳无限多的新客人。

94、高度发达的文明或许不会有意识地消灭其他生命形式，但最可能的情况是，他们根本就不会注意到。

95、伊壁鸠鲁悖论：运动是不可能的，因为它需要先到达一半，然后再到达另一半，这个过程可以无限分割。

96、遗憾的是，我们可能永远无法与这些外星人见面。根据2023年4月的一项研究，当一颗行星质量为地球的10倍时，其重力也将是地球重力的2.4倍——克服这一重力并完成火箭发射和太空旅行几乎是不可能的。

97、贝特朗箱子悖论

98、外星人受困于“超级地球”

99、第一问：“如果下个问题是你喜欢我吗，那么这两个问题的答案是否相同？”

100、人类在1900年左右发明了无线电接收机，而第一台计算机出现于1945年，如今大规模生产的手持设备已经能进行每秒数十亿次的计算。人工智能的全面发展可能就在眼前，而未来学家塞斯·肖斯塔克（SethShostak）表示，这已经足以称为我们搜寻智能外星人的理由。简单地说，我们应该寻找的是机器人，而不是小绿人。

101、费马大定理悖论：费马大定理声称对于任何大于2的整数n，方程x^n+y^n=z^n没有正整数解，但是这个定理的证明却需要非常复杂的数学知识。

102、上帝悖论

103、“在质量更大的行星上，太空飞行的成本将以指数形式增加，”研究作者、德国宗涅贝格天文台的研究者迈克尔·希普克（MichaelHippke）说，“（这些外星人）在某种程度上被关押在自己的星球上。”

104、种猜想：

105、希尔伯特旅馆悖论：一个有无限间房间的酒店已经住满了客人，但是如果你让每个客人搬到编号是原来房间号两倍的房间，那么酒店仍然可以接纳无限多的新客人。

106、走出家门，你就会看到很多外星人。送包裹的快递员？外星人；隔壁邻居？吵闹的外星人；你的父母和兄弟姐妹？外星人，都是外星人。

107、在漫长的人类历史中，为什么没有任何外星生命跨越星际空间，来地球打一声招呼呢？

108、这些悖论其实多数已经有了科学、符合逻辑的解释。如果你喜欢数学、逻辑，这些问题的答案究竟是什么，来说说看吧。

以上内容是小编关于贝克莱克和贝克莱的著作的分析和解答，如果你对文章有什么意见或者建议请在下面留言，我们将整理和分享给大家阅读。